Also ist eine hinreichende Bedingung dafür, daß
+
+ … +
≧ 1, die,
daß
r ≧
3n ‒ 1.
Denke ich mir nun vom Anfang der Reihe
1 +
+
+ … solche Abschnitte aneinandergereiht,
die gleich oder größer als 1 sind, so reicht der
erste dieser Absch
nitte von
1 bis 3, der zweite von
4 bis 15, der dritte
von
16 bis 63, der m-te bis
4m ‒ 1.
Die Summe
1 + +
+
… bis zum 4
mten Gliede ausgedehnt,
überschreitet also gewiß m.
Also ist
1 + +
+ …
˃ (1 +
+
+ …) ∙ (1 +
+
+ …) …
(1 +
+
m² + …)
Also muß unter den ersten
4m ganzen Zahlen mindestens
eine sein, die durch keine der ersten m Zahlen teilbar ist.