Ts-236,7 7      Die Allgemeinheit der Geometrie scheint immer wieder die zu sein, dass von einem Begriff die Rede ist und wir uns do // man sich // nicht um die Gegenstände kümmernt, die unter diesen Begriff fallen. Aber so kann es natürlich nicht sein, sondern wir folgen hier – wie so oft – einer falschen Analogie.

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Welcher Art ist eine allgemeine Anweisung zu einer gewissen euklidischen Konstruktion? Sie hat ihre Wirkung, erfüllt ihren Zweck, erst wenn man sie anwendet, und dann stellt sie sich einem gleichsam zur Verfügung, indem die Variablen in ihr nun [w|W]erte annehmen.

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Man könnte so fragen: Ist etwa ein allgemeiner geometrischer Satz unendlich komplex, ◇ da unendlich viele spezielle Anwendungen // Fälle // aus ihm folgen? – Nun, er ist es offenbar nicht.      Ich möchte immer sagen: die Allgemei[j|n]heit der Geometrie ist nur dadurch möglich, dass sie nicht aus Sätzen besteht.

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Man kann ein Brotmesser nicht allgemein nennen, weil sich kleine und grosse Stücke damit schneiden lassen.

“Wenn du eine Strecke halbieren willst, so nimm sie in den Zirkel, etc.” Und nun zeichnet man eine Figur, in der dies alles an einer Strecke wirklich vollzogen ist und nimmt an, dass der Andere es nun danach an jeder beliebigen Strecke wird vollziehen können. Die Regel setzt natürlich die unendliche Möglichkeit des Raumes voraus, aber nicht “eine unendliche Anzahl” von Möglichkeiten.

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Stellen wir uns einen Menschen vor, der so eine allgemeine Vorschrift Ts-236,8r 8 benützt. Er schaut auf die Vorschrift, dann auf sein Papier: Ich soll die Strecke in den Zirkel nehmen, – jetzt einen Kreis schlagen, – etc., etc. Aber in der Vorschrift steht ja garnichts von dieser Strecke. Aber so fasst der sie auf, der sie anwendet.

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Der Vorschrift zur Halbierung entspricht eine Vorrichtung zur Halbierung und in dieser wäre ein Teil etwa ein verstellbarer Schlitten, der sich der zu teilenden Strecke anpassen würde. Hier hätten wir das Analogon zur Allgemeinheit des Brotmessers.

Kann man etwa die Zeichnung als geine Stellung eines beweglichen Mechanismus auffassen, der sozusagen die eigentliche Beweiskonstruktion wäre? (Man denkt es ist etwa in A eine Kur[v|b]el und AB und AC als elastische Schnüre.)      (Kann man von einem dehnbaren Beweis reden?)

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Könnte man sagen: die Figur kann durch bestimmte Arten von Zerrspiegeln betrachtet werden und behält, durch sie gesehen, ihre beweisende Kraft. Sie wird von vorn herein so verstanden, dass sie durch alle diese Zerrspiegel betrachtet werden kann. Nur das allen diesen Bildern Gemeinsame, welches sie verkörpert, ist das eigentliche Symbol.

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Man könnte nun freilich – fälschlich – die Figur als den Begriff und ihre verschiedenen Bilder als die unter ihn fallenden Gegenstände auffassen.

Der Beweis kann nichts prophezeihen. D.h. er kann nichts Wirkliches prophezeihen.

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(Wir erkennen oft im verzerrtesten Schatten die Figur, die ihn wirft.)

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Ts-236,8v ⌊⌊ Der allgemeine geometrische (zeichnerische) Beweis ist das Stück das alle speziellen Beweise miteinander gemein haben. Das Ende haben sie nicht miteinander gemein. ⌋⌋

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Ts-236,10 10      (Die fragliche Allgemeinheit tritt, natürlich, schon in die Definition des Kreises als Ort aller Punkte etc. ein.)

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Es muss sich da natürlich um die Definition einer Variablen handeln, für die ein gewisses Gebiet von Werten bestimmt wird, aber freilich nicht als Klasse von Werten. – Wenn ich also die vermeintliche Schlusskette mit dem Satz anfinge “alle Radien eines Kreises sind gleich lang”, so wäre das schon falsch, d.h. ein unsinniger Anfang.      Wenn ich den Kreis etwa durch die Gleichung r = const. definiere, so muss die unendliche Möglichkeit der r nach der Lage des Radius natürlich in der Bedeutung dieser Definition beschlossen liegen; aber nicht in Form einer Klasse, möglicher Werte, sondern, wenn es sich um eine [Z|z]ahlenmässige Geometrie handelt, durch die jedem Radius anhaftende unendliche sichtbare Möglichkeit das Gesetzt der Bildung rationaler Zahlen, und, soweit es sich um eine Gesichtsgeometrie handelt, durch die jedem Radius anhaftende unendliche sichtbare Möglichkeit.

Ichh sagte früher einmal, man könnte sich eine Euklidische Demonstration auch an einer bewegten Figur ausgeführt denken. Es ist aber nicht wesentlich, dass sie bewegt, sondern dass sie beweglich ist (d.h. variabel).      D.h. ich muss in ihr den Repräsentanten der unendlichen räumlichen Möglichkeit sehen.

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Wenn ich einen mathematischen Satz und einen Beweis für ihn kenne, und später lerne ich noch einen weiteren Beweis dieses Satzes kennen, so habe ich damit ein neues System kennen gelernt.

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Angenommen, jemand untersuchˇte gerade Zahlen auf das Stimmen des Goldbach'schen Satzes hin. Er würde nun die Vermutung aussprechen – und die

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Ts-236,23 23              Es hat Sinn, von zwei Punkten zu sagen, dass sie durch eine Gerade verbunden seien. Aber heisst das “, “es hat Sinn, von zwei Dingen, die Punkte sind, zu sagen etc.”? –

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Wie weiss ich dann, dass ein Zeichen “A” einen Punkt bezeichnet? Etwa indem ich sehe, dass “A” in bestimmter Weise mit anderen Zeichen verknüpft werden darf. Aber wie weiss ich, dass diese anderen Zeichen [g|G]erade bezeichnen etc.? Dadurch, dass sie mit “A” verknüpft werden dürfen? Sie können doch nicht gegenseitig ihre Bedeutung bestimmen. Das grammatische System (Spiel) ist eben autonom und seine Anwendung ist in ihm nicht enthalten. gegeben.

Die Geometrie anders verstanden, als reine Grammatik, muss angewendet sein und dann muss es wirkliche Punkte und Gerade etc. geben; der Satz, dass eine Gerade zwei Punkte verbindet, muss dann eben einen wirklichen Sinn haben.

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Und es heisst der geometrische Satz dann auch nicht “alle Punktpaare sind durch eine Gerade verbunden,” sondern “können durch eine Gerade verbunden werden”. Und hier braucht man dann das Wort “je zwei Punkte Punkte ” und nicht “alle Punktpaare,” und deutet damit den Unterschied von einer anderen Art der Allgemeinheit an.

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Die Grammatik kann ihre Regeln nicht auf gut Glück allgemein

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Ts-236,34 34              Sage ich jemandem “gehe drei Schritte” und er versteht den Befehl, so kann er ihn mir etwa durch eine Zeichnung erklären. Er sagt: Wenn hier der Weg ist und A der Anfang, so willst du, dass ich nach B dann nach C und D kommen soll; oder dergleichen. Und dabei ist es klar, dass er in gewissem Sinne nur einer Sache Ausdruck verliehen hat, die er schon früher – als er den Befehl hörte, und verstand – wusste. Er könnte nun so fortfahren und den Befehl noch näher erklären, etwa mit durch ein ausgeführteres Diagram, und immer würde er doch nur hervorbringen, was ihm schon früher klar war. Er übersetzt nur aus einer Sprache in eine andere. Und wenn er nun endlich den Befehl ausführte, zum Zeichen, dass er ihn verstanden hat – würde er da nicht wieder blos übersetzen?

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Zwischen dem Befehl und seiner Ausführung muss eine Kontinuität bestehen. Die Ausführung muss, sozusagen, nur die Endfläche des Befehls (Befehlskörpers) sein.

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Ich denke, um mir das Wesen des Verstehens klar zu machen, immer an eine Figur und eine Projektion, die man von ihr macht. Die Projektionsmethode kann nur durch den Vergleich des Bildes mit der Realität festgehalten sein, die vorhanden eben da ist.

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Aber da scheint es ja, als müsse man den Satz mit der Realität in einem bestimmten Sinne vergleichen – also nicht nur vergleichen. Als müsste also die Realität in gewissen Fällen durch die Vergleichung quasi einen Vorwurf empfinden. Wenn sich etwas einem Ziele nähert, so liegt in dem Wort “Ziel” hier das, was ich meine[.| (]die Intention).

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Ts-236,38 38 durch das kalte Bad ausgedrückt.       (Ich meine), dass Daß der Gedanke ganz Mass ist, wie der Massstab; d.h. wie dass alles am Masstab unwesentlich ist ausser dem Längenmass.

Der Gedanke ist ein Symbol.

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∫

Der gegenwärtige Gedanke enthält alle Realität, die gegenwärtig vorhanden ist. (Und mehr kann er ja nicht haben.)

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/

Es ist sehr merkwürdig, dass in einem Buch über Differentialrechnung in den Erklärungen mengentheoretische Ausdrücke und Symbole vorkommen, die die im Kalkül gänzlich verschwinden. Das erinnert an die ersten Erklärungen in den Lehrbüchern der Physik, in denen vom Kausalitätsgesetz und [ä|Ä]hnliche[,|m] die Rede ist, was, wennw wir einmal zur Sache kommen, nicht mehr erwähnt wird.

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∫

Das Symbol – ich meine das, was als Symbol gebraucht wird, – mit der Wirklichkeit zu vergleichen, ist einfach. Die Schwierigkeit besteht darin, es, mit der symbolisierenden Beziehung zusammen, als Gedanke mit der Wirklichkeit zu vergleichen.

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/

“Ich bin froh darüber, dass du kommst” heisst nicht, ich bin froh, weil Du kommst. In diesem Falle wäre es eine Vermutung, dass ich deshalb so guter Stimmung bin.)

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Ts-236,47 47 Also ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass 1 n + 1 (n+1) + … + 1 (n+r) = oder grösser 1, die, dass r = oder grösser 3n‒1. Denke ich mir nun vom Anfang der Reihe 1 + 1 2 + 1 3 + … solche Abschnitte aneinandergereiht, die gleich oder grösser als 1 sind, so reicht der erste dieser Absch[j|n]itte von 1 bis 3, der zweite von 4 bis 15, der dritte von 16 bis 63, der m-te bis 4m‒1.      Die Summe 1 + 1 2 + 1 3 + … bis zum 4mten Gliede ausgedehnt, überschreitet also gewiss m. Also ist 1 + 1 2 + 1 3 + … 1 4m grösser als (1+ 1 2 + 1 2² +…).(1+ 1 3 + 1 3² + …) … (1+ 1 m + 1 m² +…)      Also muss unter den ersten 4mten ganzen Zahlen mindestens eine sein, die durch keine der ersten m Zahlen teilbar ist.

Ich kann einen Aparat beschreiben, in welhem ein Bolzenn in einem Einschnitt ei[j|n]es Rades eingreift, wenn dieses sich in einer bestimmten Ste[e|l]lung befindet. Kann man sagen, der Satz ist so gebaut, dass, die Realität in ihr einschnappt wenn die Realität so ist, so schnappt sie ein? Ich müsste also den Gedanken beschreiben können und dannd die Realität, die so gebaut ist, dass sie mit ihm übereinstimmt. Aber das heisst doch garnichts.

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Man kann auch nicht sagen, “dass auch die lebhafteste Vorstellung” doch nicht an die Wirklichkeit herankommt”, denn damit wäre es also doch denkbar, dass sie herankäme – wenn es auch nie einträte –.

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Ts-236,54 54 das heisst, dass in diesem Vergleich ein logischer Fehler ist.

Wenn ich sage “b ist nicht so lang wie klein a”, so scheint das jenen Schatten vorauszusetzen, der Tatsache, dass b so lang wie a ist. [w|W]enn ich aber sage “b ist kleiner als a”, so scheint das diesen Schatten nicht vorauszusetzen und doch sagt es auch, was der erste Satz sagt.

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Man könnte also sagen: “b ist so lang wie a” hat Sinn, weil b kürzer als a ist. (Oder: “dieses Buch ist blau” hat Sinn, weil es in Wirklichkeit roti ist.)

(Es ist eine Methode der Philosophie, die in den Wissenschaften nicht erlaubt ist, den günstigsten Fall anzunehmen. Am Aehnlichsten ist diese Methode noch der in der Mathematik, einen extremen Fall anzunehmen, in welchem das doch jedenfalls eintrifft. Argument a fortiori.)

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Man denke sich, man gäbe jemandem den Befehl eine bestimmte Handlung auszuführen, etwa eine Linie mit dem Bleistift nachzuzeichnen. Die Sache wird deutlicher, wenn man sich den Befehl einem unserer Wortsprache Unkundigen mit Zeichen gegeben denkt. Man wird dann die Handlung vormachen und nun ihn dem Bleistift geben, etwa seine Hand ein Stück führen, (oder dergleichen). Das wird der Befehl sein. Nun wird man freilich sagen: das ist blos der Ausdruck des Befehls und nicht, was wir eigentlich meinen; was wir meinen ist: ‥‥․ und nun werden wir andere Zeichen für das geben, “was gemeint ist”. – Aber, wenn man nun den Befehl ausführte und auf die Ausführung als nachträgliche Erklärung ◇ man das Beispiel des Befehls wiese? Oder ist in dem Falle auch die Erfüllung nur ein Zeichen?

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Ts-236,56 56 🖵 Die [O|o]rthogonale Projektion von s auf b grenzt auf b schon das Stück s' ab. Damit ist freilich nicht gesagt, dass dieses Stück nun auf b eine besondere Farbe hat, also auch durch die Farbe begrenzt ist. Die Projektion des schwarzen Kreises in der oberen Ebene auf die untere begrenzt auf dieser schon einen Kreis; dadurch ist er aber noch kein Farbkreis. (In diesem Satz liegt Richtiges und Falsches.)

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Wenn ich nun erwarte, dass auf der unteren Ebenen ein Kreis erscheinen wird, von dem gesagt wird, dass er die orthogonale Projektion des oberen und von gleicher Farbe ist, so gäbe ich weiter nichts als e eine Projektionsmethode. Die Projektionsmethode kann ich von anderen Gebilden kennen. Ich kenne sie aber doch nur so, dass eine Figur die orthogonale Projektion einer anderen ist; aber doch nicht so, dass keine Figur die Projektion einer Figur ist. Ichn nehme mir vor, die Erscheinungˇen auf der unteren Ebenen in bestimmter Weise zu beurteilen. Dann muss in diesem Vorsatz schon die Projektion stecken.

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Was heisst es, eine Strecke daraufhin untersuchen, ob sie die orthogonale Projektion einer anderen sei?1      Es kann nur heissen, eben die Striche zu ziehen, die man in einem solchen Fall zieht. – Wie ist es aber mit der Untersuchung, ob die untere Farbe die gleiche ist, wie die obere. Oder kann man sagen: auch da stelle ich mich in bestimmter Weise ein, so wie ich etwa Linien ziehe, um feststellen zu können, ob die untere Figur die Projektion der oberen ist. Ich glaube, so ist es.      Das ist alles ein Einstellen, aber mehr kann ich nun nicht tun.      Und dieses Einstellen ist nicht das Einstellen auf etwas anderes, d.h. nicht mit Beziehung auf etwas, was noch nicht da ist, sondern es Ts-236,57 57 ist autonom, sozusagen das Aufrichten eines Masstabes, was immer geschehen mag.

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(Des Rätsels Lösung muss in der Art // Festsetzung über die Art // und Weise liegen, wie die Erscheinung dann beschrieben wird, wenn sie [K|k]ommt.)

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Es ist ungemein schwer, den eigentlichen Punkt Ort der Schwierigkeit mit Worten zu errei[v|c]hen.

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Denken wir uns die Einstellung durch einen Zeiger, [i|w]ie den gelben Zeiger am Anäeroidbarometer, und etwa ein solches Barometer und eine Uhr. Auf beiden Zifferblättern stelle ich den Z freien Zeiger ein, und drücke dadurch die Erwartung aus, dass, wenn der Uhrzeiger bei a' ⌊⌊ ⌋⌋ anlangt, der andere auf a stehen wird. (Es ist kein Zweifel, dass das ein vollkommener Ausdruck der Erwartung, des Gedankens, ist.) Bleibt nun die Uhr etwas stehen, so dass ihr Zeiger a' nicht erreicht, dann gilt das Ganze nicht, ebenso, wenn etwa der Zeiger des Barometers plötzlich verschwände. Dann wäre eben kein Zeichen da. Ist es aber da, dann hat das Barometer sozusagen keine andre Wahl, als auf a a zu stehen oder nicht auf a zu stehen, und dann ist der Gedanke verifiziert oder er ist falsifiziert worden.

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Wo haben wir aber in diesem Satzzeichen Worte, oder etwas, was den Wo[t|r]ten entspricht? Es “bedeutet” offenbar a ' a' den Uhrzeiger und a den Barometerzeiger.

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Ich bleibe in den Zeichen, bis ich in ihrer Verwendung Anwendung aus ihnen heraustrete.2

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Dann weist mein Benehmen, meine Handlung, die logische Ver- Ts-236,58 58 Verwandtschaft mit den Zeichen auf, die ein solches Zeichen mit seiner Uebersetzung aufweist.

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Was ich immer sagen will, ist, dass der Gedanke nichts Menschliches ist. Dass er auch nicht ein bestimmtes Gefühl ist, da[ss|s] man eben nur fühlen, aber nicht etwa auch ansehen kann. Man kann z.B. Zahnschmerzen nicht gleichsam herausstellen und ansehen. (Natürlich kann man nicht sagen, die Zahnschmerzen kenne man von innen, indem man sie fühlt und könne sie von aussen betrachten. Denn die Zahnschmerzen haben haben kein Innen und Aussen.

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Die heute gewöhnliche Auffassung ist die, dass das Denken – durch den Kopf oder die Seele besorgt – ein Privilegium eben des Kopfes oder der Seele ist (wie etwa die natürliche Verdauung, des Magens). Und das ist sie auch als naturgeschichtlicher Akt Prozess betrachtet, wie auch die Verdauung in diesem Sinn dem Magen eigentümlich ist, – aber vom Standpunkt des Chemikers betrachtet ist die Verdauung ein Prozess, der dem tierischen Magen nicht eignet und ganz unabhängig davon ist, wo er tatsächlich stattfindet. – So hat es der Logiker nicht mit einem spezifisch menschlichen Prozess zu tun.

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Die Logik ist eine Geometrie des Denkens.

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Man könnte freilich sagen, dass die Uhr und das Barometer mit den verstellbaren Zeigern nur der Ausdruck eines Gedankens, aber nicht der Gedanke selbst sind; aber dann sind sie doch Teile, Werkzeuge, eines Gedankens, und was immer der Gedanke selbst ist, so ist er ein anderer Vorgang als der, welcher ihn verifiziert und er hat kann mit diesem Vorgang nur soviel gemein, haben, als jene Vorrichtungen der Uhr und des Barometers h haben. – Darum kann – und muss – in der Logi man (in der Logik) auch mit dem “Ausdruck” der Gedanken operieren und auf das Andere keine Rücksicht

Ts-236,64 64             Das Denken macht Pläne. Es zeichnet Pläne einfacher oder sehr komplizierter Art.      Nun sagt man aber: das ist doch nicht alles, man will doch etwas mit diesen Plänen, sie bedeuten d[i|o]ch etwas, d.h. sie sind doch mit einer Absicht gezeichnet. Ja, aber hier gibt es zwei Möglichkeiten: entweder diese Absicht ist ein Gefühl oder dergleichen, dann in[et|te]ressiert sie uns nicht, oder aber sie istb Teil der Sache, dann gehört sie zum Bild.      Die Logik ist immer sachlich.

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Wenn der Befehl z.B. darin besteht, einen gewissen Weg zu machen, so kann ich ihn mit Hilfe einer Karte (eines Planes) ausdrücken. Dabei kann der Befehl auch lauten, einen oder den anderen Weg zu gehen und etwa gewisse Wege nicht zu gehen. Das wirdvd dann auch im Bild seinen Ausdruck finden, indem etwa die ausgeschlossenen Wege durchstrichen werden. Das Bild Der Befehl könnte auch bedeuten, man dürfe überall zwischen den beiden Linien gehen, ausser über das schraffierte Feld.

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Wenn nun tatsächlich ein Weg zwischen zwei Orten abgesperrt wirde und etliche andere offen gelassen wer[e|d]en, ist in diesen Tatsachen schon eine Verneinung und eine Disjun[l|c]tion enthalten?

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Wie ist es aber, wenn ich einen Befehl auf eine bestimmte Weise interpretiere und ihm zuwiderhandle. Worin liegt es, dass meine Handlung nicht meine Interpretation des Befehls ist, sondern ein Entgegenhandeln? Wird dadurch nicht meine Au frühere Auffassung über den Haufen geworfen?      Ich kann sagen, wenn der Handelnde es nicht ausdrückte sagte , so könnte man nie wissen, dass es ein Entgegenhandeln ist. Und wenn er es nun sagt, so verste[g|h]en wir es nur durch unsere Interpretation der Verneinung.

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Ts-236,65 65              Man würden glauben, wenn ich dem Befehl, so wie ich ihn auffasse, verstehe, zuwiderhandeln kann, dann muss meine Handlung dem Ausdruck meiner Auffassung unmittelbar widerstreiten. – Oder ist es nu[t|r] die Interpretation meiner Handlung, die der Interpretation des Befehls (sozusagen auf gleicher Ebene) widerspricht?

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Disjunction, Negation etc. scheinen scheint in der Einstellung zu einem Bild zu liegen. Sie entspre[f|c]hen entspricht der elektrischen Schaltung, durch die etwa eine Klingel mit Schaltern verbunden ist.

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Denken wir uns folgende Einstellung: 1) Die Glocke läutet nur dann, wenn ich den Zeiger a dem Zeiger b gleichrichte; 🖵 2) die Glocke läutet nur dann nicht, wenn ich a dem b gleichrichte; 3) die Glocke läutet nur, wenn a entweder dem b oder auch dem c gleichgerichtet ist; 4) die Glocke läutet in allen anderen Zeigerstellungen von a, ausser, wenn er mit b oder c gleichgerichtet ist; 5) die Glocke läutet nur dann, wenn sowohl b als c mit a gleichgerichtet sind; 6) die Glocke läutet nur, wenn b mit a gleichgerichtet, c mit a aber nicht gleichgerichtet ist; etc. Das Glokkenzeichen bedeutet Zustimmung (oder auch das Umgekehrte). Man könnte so eine Schaltung auch an dem Modell der erlaubten ider verbotenen Wege anbringen. Dieses Model wäre dann der Ausdruck eines Befehls. Könnte man es aber mit Recht ein Bild nennen?

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Eine Meinung (d.h. ein Sinn), die man nicht erklären kann, interessiert uns nicht, denn, ihr kann man auch nicht zuwiderhandeln.

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Wenn in die Interpretation ein Bild ist, so ist sind zwei entgegengesetzte Interpreta[z|t]ionen entgegengesetzte Bilder.

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In Wahrheit muss aber im Verbot immer das beschrieben werden,

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Ts-236,75 75 sein, wenigstens im wörtlichen Sinne; – seine “Zusammensetzung besteht eigentlich darin, dass er ein besonderer Fall einer allgemeinen Regel der Bildung von Zeichen ist. Denn man kann zwar “ambulo” aus der Stammsilbe und der Endung zusammengesetzt ansehen, aber wie wäre es, wenn diese Form b[,|l]os durch die Stammsilbe allein gebildet würde?

Wie man von dem Sinn eines Satzes in gewisser Weise nicht reden kann, so auch nicht von dem Ausdruck des Gedankens, Wunsches, Befehls, etc., denn auf die Frage: “[W|w]elcher Wunsch ist durch diesen Satz ausgedrückt”, muss nur﹖ ein Ausdruck des Wunsches zur Antwort kommen.      Dasselbe gilt auch von dem Ausdruck “dieser Satz teilt mir etwas ⌊(⌋bestimmtes⌊)⌋ mit”.

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Und hier muss man – glaube ich – sagen, dass die Verneinung, Disjunction, etc., im Gedanken ebenso “primitiv” ist, wie in unserer Zeichensprache. Wie vermöchte man auch in ihr die Verneinung zu denken, wenn sie wie ein schlecht passendes Kleid der Verneinugng wäre. Oder – würde man erwarten – man müsste doch fühlen, wie einen die Ausdrucksform überall drückt (quasi wie ein harter nicht wirklich passender Schuh.)

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Gibt es einen Existenzbeweis für Primzahlen,? und einen der die Existenz unendlich vieler Primzahlen beweist? Und in welchem Verhältnis stehen diese zueinander?

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Durchnd die Metho,de des Multiplizierens (etwa im Dezimalsystem, aber gleichgültig in welchem System) ist die Existenz von Produkten, von teilbaren Zahlen bewiesen.

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Wenn n und m relativ prim sind und n die grössere und Ts-236,76 76 n = (0)m + n = a0m + r0, dann können die Fälle eintreten, dass m = a1r0 und r0 = 1 oder dass m = a1r0 + r1 und r0 = a2r1 oder m = a1r0 + r1       r0 = a2r1 + r2       r1 = a3r2 + oder m = a1r0 + r1       r0 = a2r1 + r2       r1 = a3r2 + r3       r2 = a4r3 oder m = a1r0 + r1       r0 = a2r1 + r2       r1 = a3r2 + r3       r2 = a4r3 + r4       r3 = a5r4 und r1 = 1 und r2 = 1 und r3 = 1 und u.s.w.         m(0) = a1oder also m(1) = a1a2 + 1 m(2) = a1a2a3 + a1 + a3 m(3) = a1a2a3a4 + a1a2 + a1a4 + a3a4 + 1 m(4) = a1a2a3a4a5 + a1a2a3 + a1a2a5 + a1a4a5 + + a3a4a5 + a1 + a3 + a5

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Fügt man nun n zusammen zu 1n, 2n, 3n etc. so sieht man, dass gegenüber einem Vielfachen von m solange ein Rest bleibt, [v|b]is man zu m.n kommt, wo immer der [e|E]uklidische Algorithmus endet (d.h. welche der Formeln immer für m anwendbar ist).      Im ersten Fall z.B. wenn m = a1a2 + 1 :       1n = a0m + a2       2n = 2a0m + 2a2      ‥‥‥‥‥‥      vn = va0m + va2      der Rest va2 bleibt jedenfalls solange kleiner als m, bis v = a1 wird; dann ist

Ts-236,80 80      Inwiefern kann man aber das Bild 1 2 3 4 1 5 2 6 3 7 4 den Beweis von 3+4 = 7 nennen? (da doch aus dem Bild die Formel in keinem Sinne hervorgeht.) Offenbar nur kraft einer allgemeinen Regel, die Gleichungen mit solchen Bildern verknüpft.      Denn wenn ich die Gleichung 2+5 = 9 aufstelle, so kann man sagen “wir werden gleich sehen, ob das so, ist”, und nun stellt man den entsprechenden Kalkül an und sieht, ob die Gleichung stimmt (und genau dasselbe gilt natürlich von den Ungleichungen). Aber der entsprechende Kalkül entspricht eben nur durch eine allgemeine auf Grund einer allgemeinen Regel.

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In dem oberen Additionsschema sind die Ziffern Ordnungsziffern. Sie bezeichnen also einfach eine bestimmte Stelle, die soundso vielte Stelle. Man könnte das deutlicher machen durch die S Schreibung: (1) (2) (3) (4) (1) (5) (2) (6) (3) (7) (4)      Es ist klar, dass man mit diesem Algoritmus auch multiplizieren, subtrahieren und dividieren kann, und dass alles die volle Strenge hat.      (Uebrigens ist ja diese Rechenmethode die des Rechenschiebers.)

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Das Wort “Gasthaus” über dem Tor eines Hauses zeigt an, dass dort ein Gasthaus ist. Es muss der besondere Fall einer allgemeinen Regel vorliegen, damit wir das Wort als einen Satz Mitteilung, also als Satz, verstehen. Das zeigt uns wie weit “[z|Z]usammengesetztheit” ein [c|C]harakteristikum des Satzes ist.

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Ts-236,91 91                    Was geschieht, wenn ich mir einen Schachzug überlege? In diesem Falle kann ich die Züge im Vorhinein machen und also das direkteste Bild dessen entwerfen, was geschehen wird.

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“Wievie[k|l] Punkte muss man nach der Reihe setzen, um das ‘u.s.w.’ anzudeuten?” Tut es nicht [E|e]iner?

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Kann man von der Zahlenreihe sagen, sie habe kein Ende? “Aber, wie wäre es, wenn es anders wäre?” Aber kann ich nicht vom Schachspiel sagen, die Reihe der Schachfiguren habe ein Ende, und in einem anderen Spiel, sie habe kein Ende? wenn man die Erlaubnis hätte, beliebig viele Felder, einer Regel gemäss, mit Steinen zu besetzen.

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(Was ich mit den Zeichen tue, ist für den Mathematiker ein Herum‥‥ /und war es für Ramsey/, und mit Rec[j|h]t, denn er will vorwärtskommen, während ich mich ungestört // unbeirrt // bei einigen wenigen Zeichen und zwei Schritten des Kalküls aufhalte.)

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a+ (b+1) = (a+b)+1     (R) a+(b+(c+1)) R = a+ ((b+c)+1) R = (a + (b+c))+1 (a+b)+(c+1)                                R = ((a + b)+c)+1      } a+(b+c) = (a+b)+c           (I)      (a+1)+1 i = (a+1)+1 1 + (a+1) R = (1+a)+1           } a+1 = 1 + a           (II)      a+(b+1) R = (a+b)+1 (b + 1) +a R = b + (1+a) II = b + (a+1) R = (b + a) + 1           } a+b = b+ a           (III)

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Editorial notes

1) There is a mark added by hand - possibly by Wittgenstein - indicating new line.

2) There is a line connecting this remark with the following one.